МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА

ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ

VІІІ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ

http://astro-olymp.org

  Ученици старша възраст (до 17 г.)

1 задача. За младия астроном Жельо Желев, от всички космически обекти, принадлежащи към Слънчевата система, най-интересни са метеорните тела. Той си задава въпроса колко бърз може да е най-бързият метеор.

Опитайте се де пресметнете възможно най-точно максималната скорост, с която метеорно тяло може да навлезе в земната атмосфера. При какви условия, кога и къде такова метеорно тяло може да предизвика най-бърз метеор? Пресмятанията направете, като отчетете всички фактори. Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

Решение: Едно метеорно тяло би имало максимална линейна скорост относно Земята, ако в момента на срещата му с нашата планета са изпълнени следните условия:

1) Тялото се движи относно Слънцето с максималната възможна скорост. На разстояние от Слънцето, равно на разстоянието r до Земята, това е параболичната скорост:

където М е масата на Слънцето. Тя би била най-голяма на най-малко разстояние до Слънцето, т.е. когато Земята е в перихелий. Тогава:

където е средното разстояние от Земята до Слънцето, равно на една астрономическа единица, а е е ексцентрицитетът на земната орбита.

2) Тялото трябва да се движи в посока обратна на орбиталното движение на Земята, което се извършва със скорост:

Скоростта на метеорното тяло относно Земята ще е:

v_M = v_P + v₃.

Но докато пада към Земята, метеорното тяло ще изпитва нейното гравитационно въздействие и ще се ускори допълнително до скорост v_M'. За да я намерим, използваме закона за запазване на енергията на метеорното тяло. На голямо разстояние от Земята неговата енергия ще се определя само от кинетичната енергия на движение със скорост v_M , а в момента, когато навлезе в земната атмосфера, енергията му ще бъде сума от кинетичната енергия на движение със скорост v_M' и потенциалната енергия в близост до земната повърхност. Тогава:

Окончателно получаваме:

v_M' » 73.82 km/sec

За да бъде видимата ъглова скорост на метеора максимална, той трябва да е в зенита на наблюдателя. В противен случай метеорът би се появил на по-далечно линейно разстояние от наблюдателя и ъгловата му скорост би била по-малка. Метеорът трябва да е ориентиран успоредно на земната повърхност, т.е. радиантът му трябва да е на хоризонта. Иначе наблюдателят би виждал проекция на метеора и съответно по-малка ъглова скорост.

Най-бърз метеор би се видял в полунощ над екватора. Тогава към неговата скорост би се добавила и линейната скорост на въртене на екваториална точка от земната повърхност. Тя е около 0.5 km/sec , така че скоростта на метеора би надвишила 74 km/sec . Не е нужно да отчитаме наклона на екватора към еклиптиката, защото времето от годината трябва да е около преминаването на Земята през перихелия. Това е близо до лятното слънцестоене, когато в полунощ за наблюдател на земния екватор метеорът в зенита би трябвало да се движи успоредно както на еклиптиката, така и на небесния екватор.

Ако наблюдаваме по-бърз метеор от този, то бихме направили извода, че той се предизвиква от метеорно тяло, което не принадлежи на Слънчевата система, а идва от междузвездното пространство и се движи относно Слънцето по хипербола със скорост по-голяма от параболичната скорост.

2 задача. Движението на Земята, заедно с нашата Галактика, спрямо реликтовия фон създава така наречената диполна анизотропия на реликтовото излъчване.
Поради влиянието на ефекта на Доплер, по посока на апекса температурата на излъчването е малко по-висока, отколкото в противоположна посока. Разликата в температурите по посока на апекса и антиапекса е
ΔТ = 1.08x10^-2 К. Имайки предвид това, определете скоростта на Земята спрямо реликтовия фон. Средната температура на реликтовото излъчване считайте за
Т = 2.7 К.

Решение: Нека е разликака в температурите, а Т е средната температура на реликтовото излъчване. Използваме закона на Вин за положението на максимума на излъчване по дължина на вълната на абсолютно черно тяло. В общия случай:

[cm]

За областите на апекса и антиапекса можем съответно да напишем:

[ cm ]

[ cm ]

Скоростта на Земята v можем да получим по доплеровото отместване на дължината на вълната на максимума на излъчване в апекса (или в антиапекса) относно максимума на излъчване при средната температура:

където с е скоростта на светлината. Накрая получаваме:

 km/sec

Константата на Вин (0.29) се съкращава, поради което числената стойност и размерността на резултата зависи единствено от размерността на скоростта на светлината.

3 задача. Да предположим, че всички звезди имат еднаква светимост. Определете отношението k на броя на звездите със звездна величина по-малка или равна на m + 1, към броя на звездите със звездна величина по-малка или равна на m , които бихме виждали по цялото небе. Разгледайте следните случаи:

•  Звездите са равномерно разпределени в пространството.
•  Звездите са равномерно разпределени в плосък слой. Наблюдателят се намира също в слоя.

Таблицата съдържа данни за общия брой звезди със звездна величина по-малка или равна на дадена звездна величина, които действително се виждат на небето. Разгледайте я внимателно и дайте обяснение за разпределението на звездите до различни звездни величини.

Решение: Нека r и r 1 са разстоянията, на които видимите звездни величини на звездите са съответно m и m + 1, а осветеностите, които те създават, са Е и Е₁.

І случай.

Всички звезди със звездна величина, по-малка или равна на m , са разположени в сферичен обем с радиус r . Означаваме общият им брой с N . Аналогично с N₁ означаваме броя на звездите със звездна величина m + 1, разположени в сферичен обем с радиус r₁ . Тъй като звездите са равномерно разпределени, то търсеното отношение е:

ІІ случай.

Звездите със звездна величина, по-малка или равна на m , са разположени в диск с радиус r , който е част от плоския слой с дебелина h . Звездите със звездна величина не по-голяма от m + 1, са разположени в диск с радиус r₁ . Тогава отоношението е:

От таблицата виждаме, че с нарастване на звездната величина отношението k се изменя плавно от около 3.7 до 2.5. Това означава, че звездите в близките околности на Слънцето са почти равномерно разпределени в пространството, но при по-далечните звезди все по-отчетливо се проявява разпределението им в диска на Галактиката.

4 задача. На снимка 1 се вижда Луната веднага след окултацията на Сатурн от нея. Ако ъгловият диаметър на Луната е 31', радиусът на орбитата на Сатурн е 9.555 AU , определете радиуса на пръстените на Сатурн в километри. Една астрономическа единица е 149.6 милиона километра. За по-точно определяне на радиуса на пръстените можете да използвате снимка 2.

Снимка 1

Снимка 2

Решение: Виждаме, че Сатурн е по посока на Луната. Следователно ъгълът на направлението към Сатурн спрямо направлението към Слънцето е същият, както и за Луната. Фазовият ъгъл на Луната може да се пресметне от фазата на Луната. Нека пренебрегнем ъгловите размери на Луната, гледана от Земята, и ъгловите размери на системата Земя-Луна, гледана от Слънцето. Построяваме точка Т, която се намира едновременно на терминатора и на екватора на Луната. Нека точка Q е центърът на лунния диск, а Q' е на десния край на лунния диск и лежи на екватора. Нека означим QT = y, TQ' = x . На Фиг. 3 ОА е направлението към Земята, а АТ е направлението към Слънцето. Тогава <ОАТ = φ е фазовият ъгъл на Луната. От ΔСАТ и ΔОТС следва, че <САТ = <СТО = φ , като ъгли с взаимно перпендикулярни рамене. ОТ е радиусът на Луната и следователно ОТ = x + y . Триъгълник ОТС е правоъгълен и следователно . От измерванията на снимка 1 получаваме
y = 42 mm и x + y = 57 mm . Тогава φ = 42°.5.

(При прецизно построяване на схемата на Луната, гледана от северния полюс с направленията към Земята и Слънцето, можем да получим този ъгъл графично. Измерваме и получаваме φ = 42° , което е в много добро съгласие с изчислената стойност за φ. )

На фиг. 4 правим принципна схема на орбитите на Земята и Сатурн. Направлението Земя-Сатурн е на ъгъл φ от направлението към Слънцето. Нека h е отсечка, спусната перпендикулярно от Слънцето към направлението Земя-Сатурн. Тя разделя отсечката Земя-Сатурн на две части – n и m , като r = n + m , където r е разстоянието Земя-Сатурн. От Фиг. 4 виждаме, че , където AU е разстоянието от Земята до Слънцето, а  и следователно . Оттук следва, че . Остава да намерим ъгловия размер на пръстените на Сатурн. Връщаме се към снимка 1 и снимка 2. Нека:

•  D е диаметърът на пръстените на Сатурн в километри;
•  d е ъгловият диаметър на пръстените на Сатурн в радиани;
•  d" е ъгловият диаметър на пръстените на Сатурн в дъгови секунди;
•  d₁ e диаметърът на пръстените на Сатурн в милиметри на снимка 1.

На снимка 1 обаче изображението на Сатурн е много малко, затова измерванията правим на снимка 2. За размера на пръстените на Сатурн получаваме d₂ = 5 mm . Измерваме и размерите на по-голям кратер на снимка 2 – d_k2 = 12.2 mm . На снимка 1 размерът на същия кратер е d_k1= 6 mm . Следователно mm . Измерваме върху снимка 1 диаметъра на Луната и получаваме d_L = 115 mm . Даметърът на Луната в дъгови минути d_L' = 31' е известен от условието на задачата. Тогава за пръстените на Сатурн получаваме:

Накрая за радиуса на пръстените на Сатурн получаваме:

km

което е добра оценка за видимия с малък телескоп размер на пръстените.

Снимка 1

Снимка 2

Справочни данни:
Маса на Слънцето 2 ? 10 30 kg
Маса на Земята 6 ? 10 24 kg
Гравитационна константа γ = 6.67 x 10^-11 m³/ kg.sec²
Ексцентрицитет на земната орбита е = 0.017