МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА

ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ

VІІІ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ

http://astro-olymp.org

  Ученици от 11-12 клас

1 задача. Галактиката NGC 1365 от купа галактики в съзвездието Пещ е една от най-големите известни галактики.

•  Определете от снимката какъв тип галактика е тя по класификацията на Е. Хъбъл ( E . Hubble ). Сравнете я с нашата Галактика.

•  Галактиката NGC 1365 се намира на разстояние около 60 милиона светлинни години от нас. За колко време разстоянието от нас до нея би се увеличило с една стотна част от сегашното разстояние в резултат от разширението на Вселената? Сравнете получения период с възрастта на Вселената в настоящия момент.

Решение:Виж решението на 1 задача за ІХ-Х клас.

2 задача. Направете махало от нишка (връв или конец), в края на която завързвате тежест (малък, но тежък предмет). Закрепете горния край на нишката на някаква височина, например на бюро, маса или каса на врата, така че махалото да може свободно да виси надолу и да се движи. Залюлейте махалото с малка амплитуда.

•  Измерете периода на люлеене на махалото и дължината на нишката l . По получените данни изчислете ускорението на силата на тежестта на земната повърхност g и масата на Земята.

•  Намерете данни за периода на движение и радиуса на орбитата на Луната около Земята. Въз основа на тези данни пресметнете отново масата на Земята. Сравнете резултатите, получени по двата описани начина.

Представете подробно получените от вас данни от измерванията и използваните формули и стойности на величини, намерени в литературата.

Не отчитайте околоосното въртене на Земята.

Упътване : Периода на махалото ще получите по-точно, ако измерите времето за 20 или повече пълни люлеения на махалото и разделите това време на броя люлеения. Колкото е по-дълго махалото, толкова точността ще е по-висока. За периода на махалото е в сила формулата:

Решение:

Нека дължината на нишката на нашето махало е l = 80 cm . Важно е да отбележим, че това по-точно трябва да е разстоянието от центъра на тежестта на махалото до точката на окачване. Измерваме времето за двадесет пълни залюлявания на махалото, което се оказва 36 секунди. Следователно периодът на махалото е Т = 36/20 = 1.8 секунди. От дадената формула за земното ускорение получаваме:

На близо до земната повърхност силата, с която нашата планета привлича тяло с маса m , е:

където М е масата на Земята, R е земният радиус, а γ е гравитационната константа. Следователно . Оттук, като знаем, че R = 6378 km , пресмятаме масата на Земята:

Радиусът на лунната орбита около Земята е r = 384 000 km, а орбиталният й период е Т = 27.3 денонощия. Съгласно ІІІ закон на Кеплер:

където М е масата на Земята, а γ = 6.67 x 10^-11m³kg^-1s^-2 е гравитационната константа. Оттук за масата на Земята получаваме:

3 задача. В края на септември 2004 г. астероидът Toutatis преминава на разстояние от Земята само около 1.5 милиона километра. По това време той се движи толкова бързо, че за земния наблюдател се премества с около 30° на денонощие на фона на звездите. С колко трябва да се измени линейната скорост на астероида относно Земята, така че той да стане спътник на нашата планета? Отговорете на този въпрос, без да отчитате влиянието на Слънцето. Ако отчетем и въздействието на Слънцето, то дали ще бъде възможно Земята да задържи в орбита около себе си този спътник?

Решение:

Нека r е разстоянието от Земята до астероида, а ω = 30° на денонощие е неговата видима ъглова скорост на преместване относно звездите. Превръщаме я в единици радиани за секунда и за линейната скорост на астероида относно Земята получаваме: km / sec , където r е разстоянието от астероида до Земята. Астероидът може да стане спътник на Земята, ако неговата скорост не надвишава параболичната скорост за разстояние r от Земята, която е:

≈ 0.73 km / sec

където М₃ = 6x10²⁴ kg е масата на Земята, а           γ=6.67x10^-11m³kg^-1s^-2 е гравитационната константа. Следователно трябва да намалим скоростта на астероида с 9.1 – 0.73 = 8.37 km / sec , за да стане спътник на Земята.

Дали Земята ще успее да задържи в орбита около себе си такъв спътник, зависи от приливното въздействие на Слънцето върху системата Земя-спътник. При орбита на астероида, близка до параболичната, това очевидно, няма да е възможно. Нека разгледаме случая на кръгова орбита. Кръговата скорост на един спътник на Земята по орбита с радиус r би била:

≈ 0.5 km / sec

Дали Земята ще успее да задържи в орбита около себе си такъв спътник, зависи от приливното въздействие на Слънцето върху системата Земя-спътник. За да оценим това, трябва да сравним ускорението а₃ , което Земята придава на спътника, и разликата Δа между ускоренията, придавани от Слънцето на Земята и на спътника в момент, когато Слънцето, Земята и спътника са на една права линия и разстоянието между Земята и астероида е максимално (r_max).

където r_S = 150 млн km е разстоянието от Земята до Слънцето, а M_S = 2x10³⁰ kg е масата на Слънцето. Понеже r_max « r_S , то:

Сравняваме двете величини, като пресмятаме отношението им:

                       (1)

В зависимост от скоростта, която има астероидът в началната точка, отдалечена на 1.5 милиона километра от Земята, той може да тръгне по различни орбити около нашата планета:

1) елиптична орбита с перигей във въпросната начална точка ;

2) кръгова орбита с радиус 1.5 милиона километра или елиптична орбита с апогей в началната точка .

Във втория, по-благоприятен случай от гледна точка на възможността за задържане на астероида около Земята, за отношението (1) получаваме . Ускорението, придавано на астероида от Земята, се оказва по-голямо от относителното ускорение, дължащо се на приливното въздействие на Слънцето. Това обаче не означава със сигурност, че астероидът ще има устойчива орбита около Земята. Стойността 1.5 за отношението на двете ускорения не е особено голяма. Ние знаем, че на около 1 000 000 km от Земята в посока към Слънцето и противоположно на Слънцето се намират т.нар. І и ІІ точки на Лагранж, където в системата Земя-Слънце едно трето тяло с несъществено голяма маса би било в неустойчиво равновесие. Следователно астероидът няма да може да се задържи като спътник около Земята.

4 задача.

В слънчев ден по пладне вие стоите на около 500 метра южно от най-високото здание в света – финансовия център в Тайпе, Тайван – и виждате отблясък от Слънцето в най-високата вертикална част на сградата. Слънцето се намира на височина 45° над хоризонта.

•  Пресметнете приблизително височината на зданието.

•  По кое време на годината може да се наблюдава това?

•  Какво е максималното и какво е минималното разстояние от сградата, на което трябва да застанете, за да видите отблясъка през различни времена от годината?

Решение:

Нека h е височината на Слънцето над хоризонта, Н е линейната височина на сградата, а х е разстоянето от наблюдателя до сградата. Както се вижда от чертежа, ъгълът между падащия към сградата слънчев лъч и хоризонталната пунктирана линия (която е перпендикулярна на сградата) е равен на височината на Слънцето над хоризонта. Ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение, а той от своя страна е равен на ъгъла между отразения лъч и отсечката х . Понеже всички тези ъгли са по 45°, то правоъгълният триъгълник, образуван от сградата Н , х и отразения лъч, е равнобедрен. Следователно х = Н и височината на сградата е 500 m .

От географска карта или друг източник на информация можем да видим, че географската ширина на Тайпе е около φ = 25°. Понеже наблюдателят вижда проблясъка, намирайки се южно от сградата, то Слънцето също е на юг, близо до горна кулминация. В дните на равноденствие, когато Слънцето е на небесния екватор, неговата височина над хоризонта в горна кулминация е 90° - φ = 65°. В нашия случай височината на Слънцето е по-малка, което означава, че то е в южната небесна полусфера. Деклинацията на Слънцето е δ = -(90° - φ – h ) = - 20°. Това е близо до позицията на зимно слънцестоене, когато деклинацията на Слънцето е -23.5°. Ако погледнем данните за деклинацията на Слънцето в някой астрономически календар, ще видим, че наблюдението може да е станало приблизително един месец преди или след зимното слънцестоене, т.е. около 21 ноември, или около 20 януари.

Минималната и максималната височини на Слънцето биха се получили в дните съответно на зимното и лятното слънцестоене и биха били:

При тези височини отблясък в горната част от сградата може да бъде видян съответно на максимално и на минимално разстояние от сградата:

x_max = H cotg h_min = 565 m

x_min = H cotg h_max = 13 m

5 задача . Оценете в километри какъв диаметър трябва да има слънчево петно близо до центъра на видимия слънчев диск, така че в резултат на неговата поява видимият блясък на Слънцето да намалее с 1%. Приемете, че температурата на слънчевата фотосфера е 6000 К, а в областта на петното е 4500 К.

Решение:

Нека R = 700 000 km е радиусът на Слънцето, а r е радиусът на петното. Нека Т и Т₁ са съответно техните температури. Осветеността, която Слънцето създава на Земята, когато няма петна, е:

където σ е константата на Стефан Болцман. Осветеността, която Слънцето създава при наличие на петното, е:

За отношението на двете осветености получаваме:

Оттук пресмятаме отношението на радиуса на петното към радиуса на Слънцето:

и като имаме предвид, че , получаваме или r ≈ 85 000 km . Диаметърът на петното трябва да бъде d = 170 000 km .

6 задача. Намерете на небето звездния куп Плеяди. Отбележете датата, часа и посоката, в която го виждате. Вземете пергел и го задръжте с протегната напред ръка, така че да го наблюдавате проектиран на фона на небето, а звездният куп да бъде разположен между рамената на пергела. Гледайте само с едното си око, а другото закрийте. Нагласете рамената на пергела така, че Плеядите да се побират точно между върховете им. После измерете внимателно с линийка разстоянието между тези върхове. При самото наблюдение измерете също разстоянието между вашето око и пергела (използвайте помощта на приятел).

•  От тези данни пресметнете видимия ъглов размер на Плеядите. Като знаете, че разстоянието до тях е 380 светлинни години, изчислете приблизително линейния размер на звездния куп в светлинни години.

•  Ъгловият размер на купа, определен от астрономите, е 1°50'. Сравнете го с получения от вас резултат. Как бихте обяснили разликата?

Решение: Виж решението на 6 задача за VІІ-VІІІ клас.