МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА

ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ

ХІІІ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ

  Ученици от 11-12 клас

ТЕОРЕТИЧЕН ТУР

Задача 1. Тихо Брахе. Забележителният датски астроном Тихо Брахе е извършвал многогодишни систематични наблюдения на планетите. Той е създател на най-точните наблюдателни инструменти в епохата преди изобретяването на телескопа.
Като не споделял напълно геоцентричната система, Тихо Брахе считал, че планетите обикалят около Слънцето. Но Земята според него, все пак е неподвижна и Слънцето заедно с планетите се движи около нея.
• Тихо Брахе е бил готов да приеме хелиоцентричната система на Коперник, но е бил озадачен от липсата на един наблюдаем ефект, който би потвърдил движението на самата Земя. Какъв е бил този ефект?

Тихо Брахе е разсъждавал какво би следвало от предположението, че Земята наистина се движи около Слънцето, а гореспоменатият ефект не може да се наблюдава, понеже е твърде малък за тогавашната точност на измерванията (една дъгова минута). В писмо до свой колега астроном той пише: „Считаш ли за възможно разстоянието между Слънцето и Сатурн да не съставлява и 1/700 част от разстоянието до сферата на неподвижните звезди? .... А тогава и неподвижните звезди от трета звездна величина, видимият диаметър на които е равен на една минута, трябва да имат размерите на ......” (По времето на Тихо Брахе все още се е считало, че звездната величина се определя от видимия размер на звездите).
• Какво трябва да е минималното разстояние до “сферата на неподвижните звезди” според разсъжденията на Тихо Брахе?
• Имал ли е той добра представа за разстоянието между Слънцето и Сатурн?
• Запълнете пропуснатото в края на цитата от писмото на Тихо Брахе.
• С какви други наблюдения с наземни телескопи може да се докаже движението на Земята около Слънцето?

Решение:
При точност до една дъгова минута не би могло да се установи и измери паралактичното отместване на по-близките звезди на фона на по-далечните, което се дължи на движението на Земята по нейната орбита около Слънцето. Както е известно, дори и за най-близката звезда паралаксът, съответстващ на видимия от звездата радиус на земната орбита, е по-малък от една дъгова секунда. Наблюдението на това явление твърдо би убедило Тихо Брахе, че Земята не е неподвижна, а обикаля около Слънцето. Тихо Брахе очевидно е бил наясно, че е възможно Земята наистина да се движи около Слънцето, но паралактичното отместване на звездите да не се забелязва, понеже зведите са на много големи разстояния. Това, което  е поразявало Тихо Брахе, както личи от писмото, е колко всъщност огромни трябва да са тези разстояния в сравнение с тогавашните представи за мащабите на Вселената. Минималното разстояние, на което трябва да са най-близките звезди, за да не може да се забележи паралактичното им отместване, е разстоянието, при което диаметърът на земната орбита се вижда под ъгъл една дъгова минута. С други думи, радиусът на земната орбита трябва да се вижда от такива звезди под ъгъл 30 дъгови секунди и според съвременното определение това е нейният паралакс. Тъй като при паралакс една дъгова секунда разстоянието до звездата е един парсек, то при 30 пъти по-голям паралакс разстоянието до най-близките звезди би трябвало да бъде 1/30 част от парсека. Като знаем, че в един парсек има приблизително 206265 астрономически единици, получаваме, че най-близките звезди трябва да са на разстояние:
206265 / 30 ≈ 6880 астрономически единици
От таблицата с данните за планетите виждаме, че според съвременните данни Сатурн е отдалечен на разстояние от Слънцето около 9.5 астрономически единици. Това е
6880 / 9.5 ≈ 720 пъти по-малко от разстоянието до най-близките зведи, получено по-горе. Оценката на Тихо Брахе е около 700 пъти, което означава, че той е имал доста точна представа за разстоянието от Слънцето до Сатурн в астрономически единици. (Проблемът в онези времена е бил, че не е било известно със задоволителна точност самото разстояние от Земята до Слънцето, т.е. самата стойност на астрономическата единица).
Тихо Брахе е считал, че видимият от Земята ъглов размер на една звезда от трета звездна величина е една дъгова минута. Ако тази звезда е на оцененото от него минимално разстояние, то от нея диаметърът на земната орбита трябва да се вижда под ъгъл една дъгова минута. Следователно самата звезда трябва да има размерите на земната орбита. Пропуснатите думи в края на изречението на Тихо Брахе са “земната орбита”.
При наблюдения с наземни телескопи освен паралактичното отместване, може да се наблюдава и друг вид видимо отместване на небесните обекти, дължащо се на аберацията на светлината. Поради обикалянето на Земята около Слънцето се наблюдават също и изменения с период една година на лъчевите скорости на звездите и също – изменения с период една година на периодите на много циклични явления при космическите обекти.

2 задача. Ерида. Планетата джудже Ерида се движи по елиптична орбита около Слънцето с период 557 години. Както е известно, тя се оказа по-голяма от Плутон, което постави точка на спора между астрономите дали Плутон да продължава да се счита за една от т.нар. големи планети и той беше причислен към групата на планетите джуджета.
• Понастоящем Ерида е много близо до своя афелий и се намира на 97.6 астрономически единици от Слънцето. Видимата й звездна величина е 18.7^m. Каква би била звездната величина на Ерида, когато тя е в перихелия на своята орбита?
• В дните на олимпиадата Плутон се намира на разстояние 31.81 астрономически единици от Слънцето и има видима звездна величина 14.09^m . Оценете отношението на отражателната способност на Ерида към тази на Плутон. Какво заключение за физическата природа на двете тела можете да направите?
• Защо се оказва така, че повечето новооткрити ледени астероиди от пояса на Кайпър са близо до афелия на  своите орбити около Слънцето?

Решение:
Означаваме орбиталния период на Ерида с Т , голямата полуос на нейната орбита  с  а , а разстоянията до Слънцето в перихелий и афелий – съответно с   r_p   и   r_a  . Очевидно:

Съгласно ІІІ закон на Кеплер:

Формулата важи, когато голямата полуос е в астрономически единици, а периода – в земни години. Оттук получаваме:

 AU

Това е много близко до средното разстояние от Плутон до Слънцето. За осветеностите, които Ерида създава на Земята, когато е в афелий и перихелий, съответно  E_a  и  E_p, можем да напишем:

Осветеностите са обратно пропорционални на 4-тата степен на разстоянията, защото например за Ерида: 1) Осветеността, която Слънцето създава на повърхността на Ерида е обратно пропорционална на втората степен на разстоянието от него до Ерида; 2) Осветеността, която Ерида създава на Земята, като отразява слънчевата светлина, е обратно пропорционална на разстоянието от нея до Земята. Тук пренебрегваме разликите между разстоянията Земя – Ерида и Слънце – Ерида. Означаваме звездните величини на Ерида в афелий и перихелий с   m_a   и  m_p . Получаваме:

Осветеността, която Плутон създава на Земята, означаваме с  E_pl . За осветеностите, създавани от Плутон и Ерида, когато тя е в перихелий, е в сила съотношението:

където  A  и  A_pl   са отражателните способности на Ерида и Плутон, а   D  и  D_pl  са техните диаметри. Освен това:

Така можем да пресметнем:

Трябва да отбележим, че използваната стойност за диаметъра на Ерида все още е твърде неточно определена и полученият резултат за отражателните способности също не може да се счита за точен. Но той показва, че отражателните способности на двата обекта не се различават много. Наистина това следва и да се очаква, като се има предвид, че те и двете са съставени предимно от ледове. В интерес на истината трябва да се спомене обаче, че поради различни явления, свързани с атмосферата на Плутон, при изменение на разстоянието му до Слънцето, когато той се движи по ексцентричната си орбита, неговата отражателна способност варира в значителни граници. (Това твърдение не се изисква прирешаването на задачата от учениците).
Повечето ледени астероиди от пояса на Кайпър се откриват близо до афелия на своите орбити, или поне в отдалечените от Слънцето части на тези орбити. Обяснението се дава от ІІ закон на Кеплер. Според него, при движение на тяло около друго тяло, разглеждано като център на гравитационно въздействие, скоростта зависи от разстоянието до централното тяло и намалява с увеличавате на това разстояние. Когато ледените астероиди се движат по своите издължени орбити, в далечните части на тези орбити те имат по-малки скорости и следователно остават там доста по-дълго време. Ето защо когато един такъв астероид е наблюдаван, то най-голяма е вероятността да бъде намерен около афелия на орбитата си. Така че причината повечето астероиди от пояса на Кайпър да се откриват в далечните части от орбитите си може да се обясни със статистически ефект.

3 задача. Лунен модул. При пилотиран полет до Луната космическият кораб влиза в кръгова орбита с радиус  r  около нашия спътник. От кораба се отделя лунният модул с част от екипажа, който ще кацне на Луната.
• С каква величина трябва да се промени енергията на лунния модул, за да се спусне на Луната по елипса с апоселений на орбитата на космическия кораб и периселений на лунната повърхност? (Термините периселений и апоселений произлизат от името на древногръцката богиня на Луната Селена). Масата на Луната е М , радиусът й е R , а масата на лунния модул е m.
• Кое е енергетически по-изгодно – след отделянето от кораба скоростта на лунния модул да се промени така, че той да тръгне към повърхността на Луната по гореописаната елиптична траектория, или така, че да пада свободно по права линия към Луната? В разглеждането да се отчетат и разходите на енергия за маневрите по спирането на кораба при кацането на Луната.

Справочни данни:
Диаметър на Плутон               2274 км
Диаметър на Ерида                2600 км

Решение:
Космическият кораб, движещ се по кръгова орбита около Земята, има скорост:

където γ е гравитационната константа. След отделянето си от него лунният модул има същата скорост и енергията му е:

За да тръгне по новата си елиптична орбита, скоростта на лунния модул относно Луната трябва да бъде намалена до определена стойност   v_A . Това  може  да  стане  като  се включат двигателите му така, че да го ускоряват относно кораба в посока, обратна на движението на кораба. Новата енергия на модула ще стане:

Нека скоростта на модула при достигане на лунната повърхност е   v_B . Съгласно закона за запазване на енергията:

В това уравнение неизвестните са две – скоростите  v_A  и v_B. Можем да напишем още едно уравнение на основата на ІІ закон на Кеплер:

От последните две уравнения получаваме:

Енергията на модула при движението му по елиптичната траектория ще бъде:

Необходимата промяна на енергията на модула е:

Знакът “минус” означава, че енергията на лунния модул трябва да се намали, т.е. той трябва да изгуби част от своята енергия.
За да започне да пада лунният модул по права линия към Луната, след отделянето му от кораба неговите двигатели трябва да поработят повече – докато скоростта му относно Луната стане нула. Тогава енергията му ще стане:

Необходимата промяна на енергията на модула ще бъде:

Очевидно в този случай енергията на кораба трябва да бъде намалена с по-голяма величина.
Как да отчетем промяната на енергията на кораба в края на полета, когато той трябва да се забави, за да извърши меко кацане на Луната? Разбира се, можем да пресметнем тази промяна. Но можем да разсъждаваме и по друг начин. В началото на полета си към Луната и в двата разглеждани случая лунният модул е имал енергия  Е₀ . В края, когато кацне на Луната и спре, и в двата случая модулът ще има енергия:

Цялото необходимо изменение на енергията на модула и в двата случая, независимо от начина на маневриране, ще бъде равно на разликата .
Така разходите на енергия ще са сходни. (Тук трябва да се почертае една особеност. За какви разходи на енергия говорим, след като всъщност в резултата на маневрите енергията на лунния модул намалява? Нека не забравяме, че единственият начин да се правят тези маневри е използването на ракетни двигатели. При изгарянето на ракетното гориво се отделя енергия. Нека си представим, че искаме да направим маневра, при която лунният модул тръгва по орбита с по-висока енергия. Тогава част от енергията на ракетното гориво се изразходва за повишаване на пълната механична енергия на лунния модул, а пълната механична енергия на изхвърлените от ракетните дюзи газове намалява. Когато правим маневра, при която корабът тръгва по орбита с по-ниска енергия, тогава част от енергията на ракетното гориво се изразходва, за да се увеличи пълната механична енергия на изхвърлените газове и така да се отнеме от енергията на модула. Тези разсъждения не се изискват от учениците при решаването на задачата).

ПРАКТИЧЕСКИ ТУР

Спектрално двойна звезда. Звездата HD 80715 от съзвездието Рис е двойна система, намираща се на разстояние 80 светлинни години от нас. Двете звезди са  много сходни една с друга. Те са от спектрален клас К и имат приблизително еднакви маси.
• На фигурата са представени измененията с времето на една абсорбционна линия в спектъра на звездата. Вижда се, че през определени интервали от време линията се раздвоява на две компоненти, а после те отново се събират в една. Обяснете това явление.
• Направете необходимите измервания и пресмятания и постройте кривите на изменние на лъчевите скорости на двете звезди с времето.
• Определете орбиталния период на звездите в двойната система.
• Пресметнете разстоянието между двете звезди при предположение, че зрителният лъч от земния наблюдател лежи в орбиталната равнина на звездите.
• Намерете масите на звездите в единици слънчеви маси.

Справочни данни:
Гравитационна константа            6.67 ? 10-11 м3 /кг.с2
Маса на Слънцето                        2 ? 1030 кг

Решение:
При една спектрално двойна звезда системата е разположена така, че зрителният лъч от нас към нея лежи близо до орбиталната равнина на двете звезди. Поради това, в различни моменти от време скоростта на всяка от звездите сключва различен ъгъл спрямо този зрителен лъч в зависимост от моментното положение на звездата по орбитата й около центъра на масите на системата. Ето защо в процеса на орбитално движение лъчевите скорости на звездите – проекциите на скоростите по зрителния лъч – се променят периодично. Спектърът на една двойна звезда се получава от светлината, излъчвана и от двете звезди. При определени положения на звездите по техните орбити спектралните линии, формирани от излъчването на всяка от звездите, имат различно отместване в резултат на ефекта на Доплер. Когато звездите се движат перпендикулярно на зрителния лъч (Фиг. 1 а, в), няма доплерово отместване и спектралните линии са единични (слети). Когато лъчевите скорости на звездите са максимални (Фиг. 1 б, г), доплеровото отместване е максимално в двете посоки и линиите са раздвоени, а разстоянието между двете компоненти на всяка от линиите е най-голямо.

Фиг. 1

Следователно, в моментите, когато раздалечаването между двете компоненти на спектралните линии е най-голямо, лъчевите скорости на звездите фактически са равни на пълните им скорости на движение, при предположение, че орбитите им са кръгови. Това ни дава възможност да определяме тези скорости чрез измерване по спектъра на звездата.
Първо определяме мащаба на хоризонталните скали за дължините на вълните. Измерванията показват, че на 10 ангстрьома отговарят 27 мм, или мащабът е 0.370 ангстръома на милиметър. Най-горните линии в първите две колонки от изображения отговарят на моменти, когато звездите се движат перпендикулярно на зрителния лъч. Тогава няма доплерово отместване, или по-точно, ако има някакво отместване на тази единична линия, то  се дължи на движението в пространството на двойната система като цяло. Ние нямаме информация за това движение. В условието се казва, че двете звезди са практически с еднакви параметри, затова можем да считаме, че в частност и масите им са еднакви и при раздвояване на линиите, техните компоненти се раздалечават симетрично относно положението на слятата централна  линия. Определяме положението на централната линия по скалата на дължините на вълните в първата и втората колонка от изображения. Усредняваме резултата и получаваме, че централната линия съответства на дължина на вълната  ангстрьома. Измерваме разстоянието   между двете компоненти на раздвоената линия за всички изображения  и го превръщаме в ангстрьоми с помощта на получения мащаб. Половината от това разстояние е отместването на всяка от линиите спрямо централната. За моментната лъчева скорост на една от звездите можем да напишем:

където  с = 300 000 км/с  е скоростта на светлината.

В същия момент лъчевата скорост на другата звезда е същата по големина, но с обратен знак. Подреждаме стойностите в таблица:

Построяваме графика на зависимостта на лъчевите скорости на двете звезди от времето.
По синусоидалната форма на кривите заключаваме, че компонентите в системата се движат по кръгови орбити и можем да смятаме, че максималните стойности на лъчевите скорости са равни на пълните скорости на звездите. Определяме пълните скорости, които са равни за двете компоненти, понеже имат еднакви маси:

км/с

Интервалът от време между двата момента с нулеви лъчеви скорости е равен на половината орбитален период. Така определяме орбиталния период, който е денонощия. Разстоянието на всяка от звездите до центъра на масите на системата ще бъде:

Всъщност това е радиусът на орбитата. Разстоянието между двете звезди е удвоената стойност на този радиус, или км. (Това разстояние е радиусът  на относителната орбита на едната звезда спрямо другата и то играе ролята на голямата полуос на относителната орбита в обобщения закон на Кеплер.)
Масите на звездите намираме чрез ІІІ закон на Кеплер:

 слънчеви маси

Масите на двете звезди са малки и по тях можем да заключим, че са джуджета, по-хладни от Слънцето. Наистина това са звезди от спектрален клас К и стойността на масите, която получихме, е много близка до установената от астрономите.