МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА

ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ

ХІІ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ

  Ученици от 9-10 клас

1задача. Галилей и телескопите.  През 1609 г. знаменитият италиански учен Галилео Галилей конструира телескоп и за първи път го използва за наблюдение на небесни светила. През 2009 година се навършват 400 години от това събитие и тя е обявена за Международна година на астрономията.
•   Посочете три открития, които е направил Галилей с помощта на своя телескоп.
•   Защо с телескоп можем да видим детайли, примерно от лунната повърхност, които не можем да видим с невъоръжено око? Защо с телескоп можем да видим по-слаби звезди, отколкото най-слабите, видими с невъоръжено око?
•   До изобретяването на телескопа най-далечният наблюдаван космически обект е била видимата с невъоръжено око галактика М 31 в съзвездието Андромеда. На какво разстояние от нас се намира тя? Със съвременните телескопи се фотографират галактики, отдалечени на 13 милиарда светлинни години. Колко пъти се е увеличил обемът на наблюдаваната Вселена благодарение на телескопите?

Решение:
Изобретяването на телескопа разкрива пред астрономите необикновени възможности за изследване и преобръща много от тогавашните идеи за космоса.
- Благодарение на своите наблюдения с телескоп, Галилео Галилей е открил четирите големи спътници на Юпитер – Йо, Европа, Ганимед и Калисто, които днес наричаме галилееви спътници.
- Той е открил и движението на спътниците около планетата Юпитер. Това е било силен аргумент против господстващата по онова време догматична представа за Земята като център на Вселената, около който единствено се движат всички останали космически тела.
- Галиео пръв е наблюдавал планините и кратерите на Луната. Така станало ясно, че тя е свят, много по-близък до земния, а не е някаква фантастична кристална сфера или пък тяло от т.нар. ефирна материя, нямаща нищо общо със земното вещество, както се е смятало тогава.
- Открил е, че при различни свои положения относно Земята и Слънцето, планетата Венера показва фази, подобно на Луната, а ориентацията на светлата й страна свидетелства за това, че планетата свети с отразена от Слънцето светлина.
- Наблюдавал е слънчевите петна – още едно противоречие с прадставата за идеалната същност на небесните тела. Установил е, че Слънцето се върти около оста си.
- На Галилео Галилей принадлежи и удивителното откритие, че Млечният път се състои от множество отделни звезди.

С телескоп можем да видим детайли от Луната и други космически обекти, неразличими с невъоръжено око, защото телескопът увеличава видимите ъглови размери на наблюдаваните обекти. Увеличението е важна характеристика на телескопа. Възможността да се различават детайли от космическите обекти с малки ъглови размери е свързана и с разделителната способност на телескопа.
С телескоп можем да видим звезди и други обекти, значително по-слаби от най-слабите видими с просто око. В тази връзка говорим за проникваща способност на телескопа. Звездите са на огромни разстояния от нас. Затова, когато наблюдаваме една звезда, лъчите, идващи от нея, са практически успоредни. Ако гледаме звездата без телескоп, в зеницата на окото попада определена част от светлината на звездата – един тесен сноп светлинни лъчи, ограничен от размера на самата зеница. Ако насочим към звездата телескоп, обаче, върху обектива на телескопа ще попадне много по-голямо количество светлина от звездата, защото обективът на телескопа има значително по-големи размери от човешката зеница. След преминаването през обектива и после през окуляра на телескопа звездната светлина се събира в значително по-тесен, но по-концентриран сноп лъчи, които попадат в зеницата на окото. Така с помощта на телескопа се събира повече светлина от звездата и се насочва към окото (виж схемата).
Всъщност съвременните професионални астрономи почти никога не наблюдават с очите си през телескопите. Те получават фотографии на обектите с електронна техника, която има висока чувствителност и дава възможност за натрупване на светлинното въздействие в продължение на дълго време. Така в днешно време най-слабите космически обекти, които могат да се наблюдават (пределна звездна величина 30m, постигната с космическия телескоп Хъбъл), са около 4 милиарда пъти по-слаби отколкото най-слабите видими с просто око звезди (6^m).

Галактиката М31 се намира на разстояние приблизително 2 500 000 светлинни години. Нека с  r₁  и  r₂  означим разстоянията до галактиката М31 и до най-далечните космически обекти, които се наблюдават с помощта на съвременните телескопи, а с  V₁  и  V₁  – обемите на наблюдаваната Вселена преди изобретяването на телескопа и в днешно време.

Намираме отношението на двата обема:

Благодарение на телескопите обемът на наблюдаваната Вселена се е увеличил около 140 милиарда пъти!

Критерии за оценяване:
За изброяване на три открития – 3 т.
За ролята на увеличението за виждане на детайли от космическите обекти – 2 т.
За значението на диаметъра на обектива при наблюдение на слаби обекти – 2 точки.
За намиране на информация за разстоянието до М31 – 1 т. (В различни източници могат да се намерят до известна степен различни оценки на разстоянието, примерно между 2 и 2.5 млн светлинни години. Посочването на такива оценки да се счита за правилен отговор.)
За пресмятане колко пъти се е увеличил обемът на наблюдаемата Вселена – 2 т. (В зависимост от намерената информация за разстоянието до М31 отговорите могат леко да се отклоняват от дадената тук стойност, но трябва да се считат за правилни).
Разсъжденията за историческото значение на откритията на Галилей, чертежът за пояснаване на проникващата способност, обясненията за фотографирането на небесните обекти, пределната звездна величина, както и споменаването на разделителната способност на телескопа, не са задължителни. За такива моменти в решението може да се дават допълнителни точки за награда.

2 задача. Месеци.
•   Обяснете какво представляват синодичният месец, драконичният месец  и аномалистичният месец. Каква е тяхната продължителност?
•   Още преди хиляди години хората забелязали, че 223 синодични месеца, са приблизително равни на 242 драконични месеца и на 239 аномалистични  месеца. Проверете това.
•   Как се нарича този период от време? Каква е неговата продължителност в години, денонощия и часове? Какво е характерно за този период от време? Имайки предвид какво сте научили за него, пресметнете приблизително колко лунни и слънчеви затъмнения са се случили на Земята от началото на Новата ера досега (т.е. за 2008 години).

Решение:
Синодичният месец е периодът от време между две едноименни лунни фази. Неговата продължителност е 

 дни

Драконичният месец е периодът между две преминавания на Луната през един и същ възел на своята орбита. Възли са точките, в които лунната орбита около Земята пресича равнината на земната орбита около Слънцето. Продължителността му е  дни.
Аномалистичният месец е периодът между две преминавания на Луната през перигея (или през апогея) на орбитата й около Земята и е с продължителност  дни.

дни
дни
дни

Действително получаваме приблизително еднакъв интервал от време. За да намерим продължителността му в години, дни часове, го представяме по следния начин:

години и 11 дни

Дробната част от приблизително 0.3 денонощия можем да приравним на около 8 часа. Периодът се нарича сарос и е открит от древните вавилонци преди повече от 2600 години. Това е времето, през което приблизително се повтаря цикълът от слънчеви и лунни затъмнения, настъпващи в определена, доста сложна последователност. Обяснението за тази последователност е, че условията за настъпване на лунно или слънчево затъмнение зависят от  фазата на Луната, близостта й до някой от възлите на нейната орбита и моментното й разстояние от Земята.
В един сарос могат да се случат от 69 до 87 затъмнения, но най-често броят на затъмненията е 70 или 71 (от които 43 слънчеви и 28 лунни). Като знаем това, можем да направим приблизителна оценка на броя на затъмненията, които са се случили от началото на Новата ера, т.е. за 2008 години:

 дни
 цикъла
 затъмнения

Критерии за оценяване:
За първото подусловие – 3 т.
За второто подусловие – 2 т.
За пресмятане на продължителността на периода в години и дни и за посочване на названието му (сарос) – 2 т.
За определението за сароса – 2 т.
За пресмятане на броя на затъмненията – 1 т.
Посочването на исторически подробности за откриването на сароса и обяснението на връзката между различните видове месеци и условията за настъпване на затъмнения не са задължителни и за тях могат да се дават допълнителни точки за награда. В различни източници могат да се намерят леко различаващи се данни за продължителностите на месеците и за броя затъмнения в един сарос (примерно 70, от които 41 слънчеви и 29 лунни и др.). Пресмятания с такива данни да се считат за правилни.

3 задача. Звездна нощ. Забележителният холандски художник Ван Гог (1853 г. – 1890 г.) е нарисувал двете вдъхновени картини със звездно небе, които виждате по-долу.

•   Разгледайте първата картина –  “Звездна нощ”. В кое време на денонощието е могло да се види това?

•   Обърнете внимание върху втората картина – “Звездна нощ над Рона”. Там разположението на звездите в някаква степен съответства на действителността. От кои съзвездия са изобразените звезди?

Решение:
Ван Гог е обичал да рисува през нощта. Освен това е рисувал изключително бързо. Повечето от картините му са нарисувани за около 2 часа. Рисувайки една от най-известните си картини „Звездна нощ“, през втората половина на юли 1889г., той е дочакал сутринта за да изгрее Луната, която е във фаза последна четвърт, и да освети живописното провансалско градче Арл, в южна Франция. Тъй като сърпът на Луната е обърнат наляво и леко надолу и фазата е частична, то Слъцето  се намира също наляво на няколко десетки градуса от Луната. В северното полукълбо, а Арл (Франция) се намира там, това означава, че Ван Гог е бил обърнат към източния хоризонт и е рисувал тази великолепна картина два-три часа преди изгрева на Слъцето.

Това обаче не е първата му картина с изображение на звездното небе. През септември 1888г. Ван Гог рисува картината „Звездна нощ над Рона“, на която звездното небе е изобразено много по-реалистично, макар и не толкова впечатляващо, и при по- внимателно вглеждане може да разпознаем поне едно съзвездие и няколко звезди от други съзвездия.
В централната част на небето, разбира се, е разположен „черпакът“ на  Голямата мечка. Вляво от него и над левия му край се виждат звезди от съзвездието Воловар (вляво, на самия край на платното е   γ Boo – гама от Воловар).
Под дъгата на дръжката на черпака е съзвездието Ловджийски кучета. Там се виждат няколко звезди, които са от това съзвездие.
Под четириъгълника на черпака и вдясно от него са само звезди от Голямата мечка. Над Голямата Мечка, до горния край на платното се виждат няколко звезди от съзвездието Дракон.  Там е „опашката на Дракона“ (над Мицар е  α Dra – звездата Тубан).

Критерии за оценяване
За всяко от подусловията по 5 т.
Дадените в курсив пояснения не са задължителни за оценяване.
За правилно посочване на имена или обозначения на звезди могат да се дават допълнителни точки за награда.

4 задача. Космически скорости. Представете си, че Земята е гладко кълбо без атмосфера и релефни неравности.
•   Пресметнете орбиталния период  Т₀  на изкуствен спътник на Земята, който обикаля по кръгова орбита непосредствено над земната повърхност.
•   Изведете формула за скоростта на спътника (първа космическа скорост) като функция на масата и радиуса на Земята. Пресметнете стойността й.
•   Може ли да има реално съществуващи изкуствени спътници на Земята, които се движат по кръгови орбити със скорости, по-големи от тази скорост? А с по-малки скорости?
•   Може ли да има изкуствен спътник на Луната с орбитален период, равен наТ₀ ?

Обяснете вашите отговори и ги подкрепете с пресмятания.

Решение:
Орбиталния период на спътник, обикалящ непосредствено над земната повърхност, можем да намерим, като използваме ІІІ закон на Кеплер:

където м³кг^-1с^-2  е гравитационната константа, а км  и кг са радиусът и масата на Земята.

 секунди ≈ 1 час 24 мин.

Скоростта на спътника е:

км/сек

Заместваме в тази формула получения израз за периода Т₀ и намираме скоростта като функция от масата и радиуса на Земята:

ІІ начин: За силата на гравитационно привличане, с която Земята действа на спътника, можем да напишем:

където m е масата на спътника, а  е неговото центростремително ускорение. Оттук лесно получваме същите съотношения, както по-горе.
Много често първа космическа скорост се определя като минималната скорост, с която трябва да се движи едно тяло, за да стане спътник на Земята. При това определение обаче се забравя едно уточнение – тялото тръгва от земната повърхност. Виждаме, че ако един спътник се движи по кръгова орбита около Земята със скорост, по-голяма от v₁, той трябва да има радиус на орбитата, който е по-малък от земния радиус. Съществуването на такъв спътник очевидно е невъзможно. Реално съществуващите спътници на Земята се движат на значителна височина над земната повърхност – извън плътните слоеве на атмосферата. От формулата следва, че всички реални спътници с кръгови орбити трябва всъщност да се движат със скорости по-малки от v₁. Иначе по-слабото земно притегляне на по-големите разстояния от центъра на Земята не би могло да ги задържа по такива орбити.
Нека означим с кг и км масата и радиуса на Луната. Нека r₀  е радиусът на орбитата около Луната на спътник с период T₀ . Отново използваме ІІІ закон на Кеплер:

км

Тъй като , съществуването на такъв спътник на Луната е невъзможно.

Критерии за оценяване:
За първото подусловие – 3 т. Превръщането на периода от секунди в часове и минути не е задължително.
За второто подусловие – 2 т.
За третото подусловие – 3 т.
За четвъртото подусловие – 2 т.
В различни източници се намират леко различни данни за Земята и Луната. Затова числените резултати могат също да се различават от дадените тук, но ако изчисленията са правилни, трябва да се считат за верни.

5 задача. Пасаж. След продължителни опити най-после успешно бе заснет Дядо Коледа! Използвана е била автоматична високоскоростна камера. След първоначалния шок от факта, че елените му са девет, а не осем, както са мислели досега, учените забелязали, че е заснет пасаж на Дядо Коледа по диска на Луната. Оказало се, че най-предната точка на шейната преминала видимия лунен диск за 0.05 секунди.
•   Вие разполагате с една от снимките, получени с камерата. Пресметнете от какво разстояние е фотографиран Дядо Коледа.
•   С каква минимална скорост се движи в този момент шейната на Дядо Коледа?

Решение:
Дядо Коледа, според сигурни свидетелства, е внушителна фигура и затова приемаме, че е висок 2 метра. Ако мислено го поставим да стои прав в шейната, краката му ще са стъпили на дъното на шейната. Измерваме с линийка и получаваме приблизително 7 мм. Измерваме с линийка и диаметъра на Луната. Получаваме 30 мм. Следователно ъгловият размер на Дядо Коледа е 4.3 пъти по-малък от видимия ъглов размер на Луната. Тъй като ъгловият диаметър на Луната е 30' (30 дъгови минути), то очевидно е, че Дядо Коледа е висок  7'  (7 дъгови минути). Нека h е височината на Дядо Коледа, а  r  е разстоянието от камерата до него.  Тогава:

                                     (1)

където α е ъгловият размер на изправената фигура на Дядо Коледа в радиани.
Пресмятяме колко радиана са 7' :

rad

От формула (1) пресмятаме разстоянието до шейната:

м ≈ 1 км

За сек. шейната пресича видимия лунен диск. През това време тя изминава разстояние:

м

Скоростта на шейната е:

м/сек. ≈ 620 км/час

Получената скорост е при хипотеза за движение на шейната перпендикулярно на лъча на зрение. Тъй като е възможен някакъв неголям ъгъл спрямо това направление, то полученият резултат е оценка на минималната скорост на движение на шейната на Дядо Коледа.

Критерии за оценяване:
За намиране на информация за ъгловия размер на Луната (или пресмятането му от разстоянието до Луната и диаметъра й) и за предположение за ръста на Дядо Коледа – 3 т.
За пресмятане на разстоянието от фотографа до шейната – 4 т.
За скоростта на шейната – 3 т.
При различни предположания за ръста на Дядо Коледа и намерени данни за Луната резултатите могат да се различават от дадените в решението, но следва да се считат за правилни, ако изчисленията са проведени вярно.

6 задача. Вечерно небе. Наблюдавайте небето рано вечер на югозапад през декември 2008 г. и януари 2009 г.. При ясно време ще виждате две много ярки светила, които приличат на звезди, но са по-ярки от всички звезди.
•   Кои са тези космически обекти?
•   Защо са толкова ярки?
•   С какви имена някога хората в България са наричали по-яркия обект?
•   (Незадължително условие). Погледнете тези светила с бинокъл (или телескоп). Какво забелязвате? Направете зарисовки на наблюдаваните обекти. Отбележете датата и часа, а също и с какъв оптически уред сте наблюдавали.

Решение: 
Ярките обекти са планетите Венера и Юпитер. Венера е по-яркият обект, а Юпитер – по-слабият.
Венера е най-яркият обект на небето след Слънцето и Луната. Причините за това са три. Първо, Венера е близо до Слънцето. Поради това повърхността й се огрява от по-голямо количество светлина отколкото по-далечните обекти. Второ, Венера е близо до Земята. Това води до повишаване на видимия й блясък поради по-голямото количество светлина, което попада в окото на наблюдателя. Трето, видимата повърхност на Венера е покрита с облаци, които имат висока отражателна способност (албедо). Венера има най-високото албедо в сравнение с останалите планети от Слънчевата система.
Юпитер е ярък през цялата година, защото е най-голямата планета от Слънчевата система, видимата му повърхност има добра отражателна способност, като едновременно с това се намира сравнително далеч от Земята и Слънцето. Затова разстоянието до  него не се променя съществено през годината. Сега той върви към съединение със Слъцето, когато ще е най-отдалечен от Земята, но въпреки това е по-ярък от всички звезди на небето.
По-ярката планета – Венера, е била наричана “Вечерница”, “Зорница” или “Деница”, според това дали се е виждала  вечер, сутрин или през деня.
Наблюдения.
С бинокъл или малък телескоп могат да бъдат видени дисковете на планетите. При Юпитер могат да се видят две малко по-тъмни ивици, успоредни на екватора, както и четирите най-големи спътници на планетата (галилеевите спътници). Могат да се видят всичките четири спътника или по малко, в зависимост от моментното им положение спрямо планетата. При Венера може да се види единствено фазата на планетата. В момента тя е по-голяма от първа четвърт, като постепенно намалява. Ще бъде в първа четвърт в средата на януари, когато ще е в максимална източна елонгация.

Критерии за оценяване
За правилно посочване кои са обектите – 3 т.
За обяснение на яркостта – 4 т.
За посочване на фолклорните имена на Венера – 3 т.
Дадените в курсив пояснения не са задължителни за оценяване. За наблюдения с бинокъл или телескоп могат да се дават допълни точки за награда.