МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА

НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ

ХV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ

1 задача. Откриването на Плутон.

Запазени са историческите фотоплаки, по които е била открита планетата Плутон, заснети на 23 и 29 януари 1930 г. Със стрелки са отбелязани положенията на Плутон на двете снимки. Центърът на фотографираната област от небето е с координати   ректасцензия     α = 07h23m и  деклинация     δ = +21°50′.
• В кое съзвездие е бил тогава Плутон?
• Какво е било видимото му движение на фона на звездите – право или обратно (ретроградно)?

Обяснете вашите отговори.

Решение:
По координатите на центъра на фотографираната област с помощта на звездна карта или някаква компютърна програма за показване на звездното небе, установяваме, че Плутон се е намирал в съзвездието Близнаци.
Снимките са направени в края на месец януари. Отново с помощта на звездна карта или програма за показване на звездното небе определяме, че в интервала 23-29 януари Слънцето е в съзвездието Козирог. Следователно Плутон е бил близо до част от еклиптиката, която е диаметрално противоположна на местоположението на Слънцето по същото време. Можем да заключим, че Плутон е бил недалеч от позицията спрямо Слънцето, която наричаме противостоене. Както е известно, около противостоене планетите имат обратно, или ретроградно видимо движение на фона на звездите. Наистина, ние не знаем колко близо е бил Плутон до момента на противостоене. но за обект, толкова отдалечен като него, периодът на ретроградно движение се доближава до половин година. Така че със сигурност можем да твърдим, че по време на откритието Плутон е имал ретроградно движение.

Критерии за оценяване (общо 10 т.)
За правилен отговорв кое съзвездие е бил Плутон и обяснение как е намерен този отговор – 5 т.
За правилни разсъждения какво е било видимото движение на Плутон – 4 т.
За вярно заключение за движението – 1 т.

2 задача. Хипарх. Знаменитият древногръцки астроном Хипарх е направил опит за определяне на разстоянието от Земята до Луната. Той е живял във ІІ век пр.н.е. Тогава  вече е бил определен земният радиус от друг древногръцки учен Ератостен, така че ще считаме този радиус за известен на Хипарх. Известно му е било също и разстоянието между египетските градове Сиена и Александрия. При наблюдение на слънчево затъмнение по времето на Хипарх е станало ясно, че в момента, когато в Сиена затъмнението е било пълно, в Александрия то е било частично, като 1/5 от диаметъра на слънчевия диск е останала открита. Нека предположим за простота, че пълното затъмнение се е наблюдавало по пладне и за Сиена Слънцето е било в зенита. С положителност Хипарх е знаел и какъв е видимият диаметър на слънчевия диск.
•Опишете математически начина, по който от тези данни може да се определи разстоянието от Земята до Луната.

Решение:
За метода на Ератостен, по който той е определил радиуса на Земята, е важно обстоятелството, че градовете Сиена и Александвия лежат почти на един и същ земен меридиан. Както е известно, той е използвал наблюдателния факт, че около лятното слънцестоене по пладне във водата на кладенците в Сиена се вижда отражението на Слънцето. Следователно тогава Слънцето е в зенита за Сиена. В същия този момент Ератостен е определял видимото отстояние на Слънцето от зенита, наблюдавано от Александрия (чрез измерване на сянката на вертикално колче). Обстоятелството, че двата града са приблизително на един земен меридиан,  има значение също и за начина, по който Хипарх се е опитвал да определи разстоянето от Земята до Луната. От него следва, че ако при пълното слънчево затъмнение Слънцето в Сиена се е наблюдавало в зенита, т.е. в горна кулминация, то в Александрия то също е било в горна кулминация. Тъй като Луната е доста по-близо до Земята, отколкото Слънцето, когато е била наблюдавана от Александрия, нейното видимо положение е било отместено спрямо слънчевия диск. Както се вижда от схемата, линиите от двата земни пункта към центъра на Луната сключват ъгъл, равен на 1/5 от диаметъра на видимия слънчев диск. Нека с d да отбележим ъгъла между направленията от центъра на Земята към Александрия и към Сиена, а с d₀ – диаметъра на видимия диск на Слънцето, който е бил известен на Хипарх. Означаваме с  r разстоянието между центровете на Земята и Луната, а с  х  дължината на перпендикуляра към правата, свързваща центровете на Земята и Луната. Дължината на дъгата s – разстоянието по земната повърхност между двата града – също е била известна на Хипарх, както и радиусът на Земята R.
Можем да напишем следните съотношения:
d = s / R,  където   d  е в радиани (d° = d_rad . 180° / π)
d = R .cos d
x = R .sin d
x = (r – d) tg (d₀ / 5)
Следователно:
R sin d  = (r – d) tg (d₀ / 5)
Оттук последователно получаваме:
R sin d  = (r – R cos d) tg (d₀ / 5)
r = R (sin d + cos d tg (d₀ / 5)) / tg (d₀ / 5)
Така от известните данни намираме търсеното разстояние от Земята до Луната. Тригонометричните функции не биха били пречка за пресмятанията на Хипарх по принцип, защото наред с другите си забележителни научни приноси, той е известен с това, че е основоположник на тригонометрията, макар да е боравил не с функциите, както ги използваме днес, а със съставени от него тригонометрични числени таблици.

Критерии за оценяване:
За правилна представа защо ако в Сиена затъмнението е пълно, то в Александрия е частично – 2 т.
За математическо свързване на видимото отместване на Луната от слънчевия диск в Александрия с разстоянието между двата града – 3 т.
За окончателно извеждане на метод за изчисляване на разстоянието от Земята до Луната – 5 т..

3 задача. Fish-eye обектив. Разгледайте внимателно снимката на звездното небе, направена с широкоъгълен обектив от брега на езеро в Европа. Зрителното поле на обектива е по-голямо от 180°. Освен звездното небе по края на изображението се вижда част от земната повърхност, както и част от водната повърхност на езерото.
• Ориентирайте се по звездното небе и означете на видимия хоризонт четирите посоки на света. Обяснете как сте го направили.
• Освен звездите, на изображението може да се видят Юпитер, Луната и Международната космическа станция. Намерете ги и ги означете върху снимката. Имайте предвид, че изображението е получено в продължение на няколко минути.
• Намерете съзвездията Лебед и Овен и ги означете върху снимката.
• Една от най-забележителните променливи звезди на небето е звездата Мира. Опитайте се да намерите и нея.

Предайте снимката на небето като част от решението на задачата.

Решение:
Намираме характерната фигура от седемте най-ярки звезди на Голямата мечка (виж схемата). Продължаваме линията, свързваща крайните две звезди (продължението е нанесено с прекъсната линия на снимката) и така стигаме до Полярната звезда – най-ярката звезда от съзвездието Малка мечка. Полярната звезда, както знаем, ни показва посоката север. Начертаваме един диаметър на изображението на небето, минаващ през Полярната звезда и зенита. Той определя меридиана на мястото на наблюдение и пресича хоризонта в точките север и юг. Прекарваме още един диаметър, перпендикулярен на първия. Той пресича хоризонта в точките изток и запад. Трябва да определим коя от тези две точки е изток и коя – запад. Завъртаме снимката пред себе си така, че точката север да попадне в най-долната й част, а точката юг – в най-горната. Така би изглеждало истинската небе, ако се обърнем с лице към точката север на хоризонта. Тогава надясно от нас е изток, а наляво – запад.
Международната космическа станция е оставила върху снимката дългата светла следа. Това е така, понеже изображението е получено в продължение на няколко минути, а станцията се движи сравнително бързо на фона на небето. Луната се намира много ниско над югозападната част от хоризонта. Вижда се и нейното отражение във водата на езерото. На юг от „квадрата” на Пегас е една от рибите в съзвездието Риби, а още по-нататък би трябвало да е част от съзвездието Водолей.  През тази област от небето минава еклиптиката. Близо до короната на дървото се вижда ярко светило. Такава ярка звезда в тази част от небето няма. Средователно това трябва да е планета, в случая търсената планета Юпитер. Над короната на голямото дърво, в Млечния път се вижда съзвездието Лебед. Над квадрата на Пегас се намира съзвездието Андромеда, а наляво от него е съзвездието Овен. Леко надолу от точката изток, на доста светлото небе близо до хоризонта различаваме слабите звезди, очертаващи V-образната панделка, с която са свързани двете риби от съзвездието Риби. Още по-ниско към хоризонта от върха на V-образната панделка е звездата Мира от съзвездието Кит. Тогава тя е близо до максимума на своя блясък, поради което се вижда ясно дори ниско на хоризонта.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):
За описание на правилен метод за определяне на посоките на света – 3 т.
За правилно определяне на посоките – 1 т.
За посочване на Международната космическа станция, Луната и Юпитер и обяснение – 3 т.
За посочване на съзвездията Лебед и |Овен – 2 т.
За посочване на звездата Мира – 1 т.        

4 задача. Лунно затъмнение. На 10 декември 2011 г. ще има пълно лунно затъмнение. В официално българско време моментите на затъмнението са следните:
- начало на частичното затъмнение – 14h 46m
- начало на пълното затъмнение – 16h 06m
- край на пълното затъмнение – 16h 57m
- край на частичното затъмнение – 18h 18m
На тази дата в София (географски координати φ = 42°41′,   λ = 1h 33m 23s) Луната изгрява в  16h 50m, т.е. много след началото на затъмнението. Това означава, че от София няма да могат да се наблюдават всички фази на лунното затъмнение.
• Ние решаваме да пътуваме до място, където да видим цялото затъмнение. Нека си представим, че можем да се движим само по паралела на София. В какъв интервал са географските дължини, от които затъмнението ще се вижда от началото до края? Разгледайте земния глобус и опишете през кои държави преминава тази част от паралела.

Решение:
За да видим началото на лунното затъмнение, трябва да пътуваме до точка по паралела на София, за която Луната изгрява преди началото на частичното затъмнение в 14h46m българско време. Тази точка трябва да е източно от София и нейната географска дължина трябва да се различава от дължината на София със следната стойност:

16h 50m (часът на изгрева на Луната за София) – 14h 46m = = 2h 04m

Следователно географската дължина на точката ще бъде:
λ₁ = λ + 2h 04m = 3h 37m източна дължина
За точките, които са още по на изток по паралела на София, Луната ще изгрява с все по-голям интервал от време преди началото на затъмнението. Но ако отидем прекалено много на изток, ще попаднем в област, където няма да се вижда краят на затъмнението, защото залезът на Луната ще се случва твърде рано. Най-източната точка, от която ще можем да видим цялото затъмнение, ще е тази, за която залезът на Луната се случва непосредствено след края на затъмнението в 18h 18m българско време. За София Луната залязва на 11 декември в 8h 20m. Информация за това можем да намерим в астрономически алманах или календар за 2011 г., или в Интернет, където има програми за изчисляване на моментите на изгрез и залез на Луната за различни географски пунктове, които работят on-line. Да означим с λ₂ географската дължина на точката, за която краят на лунното затъмнение е непосредствено преди залеза на Луната. За нея получаваме:

λ₂ = λ + (24h + 8h 20m – 18h 18m) = 1h 33m + 14h 02m = =15h 35m

Тази точка е на 15h 35m източно от Гринуичкия меридиан, което отговаря на  24h – 15h 35m = 8h 25m западна дължина. Следователно по паралела на София точките, от които лунното затъмнение може да се вижда от началото до края, ще са в интервала от  3h 37m източна дължина до 8h 25m западна дължина. Този интервал започва източно от Каспийско море в Казахстан и преминава през Узбекистан, отново Казахстан, Киргизия, Китай, Русия, прекосява Тихия океан и завършва на западния бряг на САЩ.
Забележка: Това решение е приблизително. По принцип, когато пресмятаме границата λ₁ , ние трябва да отчетем и факта, че от момента на началото на затъмнението до момента на изгрева на Луната в София Луната се премества на фона на звездите поради орбиталното си движение около Земята. Това преместване е отчетено при определяне на часа на изгрева на Луната за София. Но за да намерим на какво разстояние по географска дължина от София се намира точката, за която изгревът на Луната съвпада с началото на затъмнението, ние трябва да елиминираме ефекта от преместването на Луната на фона на звездите, което става във времето от началото на лунното затъмнение до изгрева на Луната за София. Същото в още по-голяма степен се отнася и за случая, когато пресмятаме границата λ₂. Радващо е, че има участници в първия кръг, които са успели да отчетат този фактор.

Критерии за оценяване (общо 10 точки):
За правилни съображения за положението на началната точка от търсената зона относно София – 2 т.
За намиране географската дължина на началната точка – 3 т.
За правилни съображения за положението на крайната точка относно София и намиране на географската дължина на тази точка – 4 т.
За посочване на държавите, през които минава търсената част от паралела на София – 1 т.

5 задача. Древен астрономически уред. На снимките виждате различни варианти на един астрономически уред, използван от древността.
•Какво представлява този уред, за какво служи и какъв е принципът на неговото действие? Обяснете накратко.
•Как се нарича пръчката или стълбът, който присъства като елемент в различните уреди? Когато този елемент се прави наклонен, от какво се определя ъгълът на наклона и посоката, в която е ориентиран той?
•При кои от показаните варианти на уреда скалата ще е най-равномерна и защо?
•Самите вие можете да се превърнете в такъв уред. В ясен ден измерете (с помощта на ваши приятели) дължината на собствената си сянка в поне 7-8 момента от време в рамките на интервал от 5-6 часа. Представете резултатите в таблица и постройте графика. Как мислите, кога вашата сянка е била най-къса? Обяснете кратко защо.

Решение:
На снимките са представени различни видове слънчеви часовници. Слънчевият часовник показва времето, т.е. колко е часът. Това се определя от положението на сянката на централния стълб, наречен гномон, върху циферблата на часовника. Ориентацията на сянката се изменя в течение на деня поради видимото денонощно движение на Слънцето по небето. Скалата на слънчевия часовник се разграфява така, че сянката на гномона в различните моменти от време да показва съответния час.
Често гномонът се прави наклонен. Тогава той се насочва на север, а наклонът му е такъв, че да е успореден на земната ос на въртене. (Ъгълът на наклона на гномона към хоризонтална повърхност е равен на географската ширина на мястото на наблюдение. Ако слънчевият часовник е в южното полукълбо на земята, то той трябва да е наклонен на юг.)
Когато гномонът е успореден на земната ос, а скалата е във вид на пръстен, разположен в равнина, успоредна на равнината на екватора, скалата ще бъде най-равномерна, защото тогава сянката на гномона ще се движи по скалата със същата ъглова скорост, с каквато става видимото денонощно движение на Слънцето по небесната сфера. Това трябва да е изпълнено в случая на слънчевия часовник вдясно от последния ред на таблицата с изображенията. Подобни са и часовниците вдясно на първия и втория ред.
Сянката ни, особено когато Слънцето е ниско на хоризонта, се получава доста дълга. Дължината й можем да определим, като помолим приятелите ни, които ни помагат, да наложат върху нея конец и после да го измерим. Ето резултатите, получени за сянката на наблюдател с височина 1.70 м на 25 декември 2011 г. в гр. Варна: