Декември 2004 г.

Задача за VІІ-VІІІ клас:

Ако днес е имало лунно затъмнение, може ли след една седмица да има слънчево затъмнение?

Решение:

Лунно затъмнение има, когато Луната попадне в сянката, хвърлена от Земята. това може да стане, само когато Луната е в пълнолуние. Следователно днес Луната е била в пълнолуние. Значи след една седмица тя ще бъде в последна четвърт, т.е. на 90° западно от Слънцето. Но тогава не може да стане слънчево затъмнение, тъй като за целта Лунната сянка трябва да попадне върху Земята. А това е възможно само при новолуние. То, обаче, ще последва не след една, а след около две седмици.

Задача за ІХ-ХІІ клас:

Пресметнете за колко време Луната би паднала на Земята, ако изведнъж спре движението со по орбитата около нашата планета.

Решение:

За да пресметнем търсеното време t , не можем да използваме познатата ни формула за свободно падане с постоянно ускорение g :

където h е разстоянието от Луната до Земята. Причината е, че тази формула е приложима при малки разстояния от земната повърхност, в рамките на които може да се счита, че ускорението е постоянна величина, равна на:

където g е гравитационната константа, а М и R са съответно масата и радиусът на Земята. Разстоянието h от Земята до Луната е много по-голямо от R и по пътя между двете тела ускорението на силата на привличане от страна на Земята съществено се променя. Оценка за търсеното време можем да направим, като си представим, че пътят та Луната, падаща право към Земята, е половината от една траектория около центъра на Земята, която е много силно сплесната елипса – толкова сплесната, че се е превърнала в отсечка. Това не пречи да приложим за случая третия закон на Кеплер. С T = 2 t означаваме периода на една пълна обиколка по тази изродена елипса, а с a = h /2 – нейната голяма полуос. Тогава можем да напишем:

Оттук получаваме:

Имайки предвид, че

пресмятаме

Разбира се, трябва да отчетем, че това е времето за падане на Луната не до земната повърхност, а до центъра на Земята, но грешката, която се допуска в случая, не е голяма. Радиусът на Земята е около 60 пъти по-малък от разстоянието Земя-Луна. Освен това, съгласно ІІ закон на Кеплер, Луната би изминала последната отсечка към центъра на Земята най-бързо и това не би прибавило много към общото време на падане.